Estas duas expressões têm uma pequena diferença. Veja:
Right now = agora mesmo, neste momento, já estou fazendo o que você quer que eu faça.
Exemplos:
1. I'm calling you right now. (Vou te ligar agora mesmo.)
2. No excuses! Do it right now! (Sem desculpas! Faça isso agora mesmo!)
Right away = logo, sem demora, na primeira oportunidade possível.
Exemplos:
1. Whenever I get his phone call, I'll call you right away. (Assim que eu receber a chamada dele, imediatamente ligo para você.)
2. We're late. We have to leave right away. (Estamos atrasados. Temos de sair imediatamente.)
Em resumo, "right now" usa-se estritamente em presente, mas "right away" pode envolver um pequeno atraso. Por exemplo, se eu estiver ocupado, e alguém vem me pedir ajuda, e eu necessito alguns minutos para terminar o que estava fazendo, eu lhe diria "I'll be with you right away", mas não poderia dizer "I'll be with you right now."
Outro exemplo, se meu chefe me diz "I have this urgent task for you" e eu lhe responder com "Yes, Ma'am, I'll do it right away" ele me replicaria com "None of this 'right away' stuff, I want you to do it right now!"
Espero seja de ajuda!